En la siguiente imagen nos encontramos con tres prismas rectos semejantes, de manera que el de color verde es una ampliación del naranja a escala 2, mientras que el azul es otra ampliación del naranja, pero a escala 3. Gracias a nuestra investigación y descubrimientos anteriores, sabemos que las caras del prisma verde no aumentan a escala 2, como sus aristas, sino a escala 4. Asimismo, las caras del prisma azul no aumentan a escala 3, sino a escala 9, según hemos constatado con el que hemos denominado "Teorema de las áreas en figuras semejantes".
Al trabajar en tres dimensiones, aparece una nueva magnitud en nuestra investigación, debido al espacio que ocupa el prisma y que se conoce como volumen.
Magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en tres dimensiones, largo, ancho y alto, y cuya unidad en el sistema internacional es el metro cúbico.
Volúmenes en cuerpos semejantes
Vamos a investigar cómo crece el volumen de un cuerpo ampliado a cierta escala y, para ello, seguiremos la secuencia basada en el método científico que ya conocemos.
Partimos del prisma recto de color naranja, con 1 cm de largo, 1 cm de ancho y 2 cm de alto, para ampliarlo con escala 2 y conseguir el de color verde, cuyas dimensiones son 2 cm de largo, 2 cm de ancho y 4 cm de alto. Posteriormente, ampliamos el naranja a escala 3 y obtenemos el prisma recto de color azul, con 3 cm de largo, 3 cm de ancho y 6 cm de alto. Como notación, emplearemos la V de volumen y la primera inicial de cada color como subíndice.
Cada equipo, en base a la experiencia adquirida anteriormente y con la mentalidad matemática que va configurando, debería ser capaz de resolver esta sencilla tarea consistente en calcular el volumen de cada uno de los prismas. En caso de necesidad, podemos acudir al botón Ayuda.
Investigamos
Ya sabemos que ampliando un prisma recto a cierta escala, sus caras, que son rectangulares o cuadradas, no crecen en la misma proporción. En consecuencia, es de esperar que tampoco lo haga su volumen. Así que, nos preguntamos: si un prisma recto se amplía a escala n, ¿a qué escala crece su volumen? Para buscar algún indicio que nos oriente y nos proporcione una posible respuesta, realizaremos experimentos matemáticos con los prismas naranja, verde y azul que tanto nos han ayudado.
Como ya conocemos los volúmenes de cada prisma recto, sabemos que el volumen del verde no crece a escala 2 y que el volumen del azul no lo hace a escala 3. Tampoco crecen a escala 4 o escala 9, como sucede con las áreas. Debemos formularnos preguntas del tipo: ¿cuántos prismas rectos de color naranja necesitamos para rellenar exactamente el prisma recto de color verde? ¿Cuántos de color naranja serán necesarios para rellenar igualmente el de color azul?
Si con la visualización geométrica no conseguimos dar con la respuesta, podemos usar los valores de los volúmenes de cada prisma para saber cuántos caben exactamente.
Como último recurso, siempre podemos acudir al botón Ayuda.
Primera generalización
El rigor matemático nos lleva a preguntarnos si las conclusiones a las que hemos llegado son debidas a partir de un prisma recto con dimensiones 1x1x2, es decir, 1 cm de largo, 1 cm de ancho y 2 cm de alto. ¿Será una propiedad exclusiva de estos tres números concretos? ¿Se deberá, por cierto, a que el prisma que hemos elegido tiene base cuadrada?
Para asegurarnos, y dado que existen infinitos números, resultando imposible la comprobación con todos, suponemos que partimos de un prisma recto con dimensiones axbxc, es decir, con a cm de largo, b cm de ancho y c cm de alto. Si lo ampliamos con escala o razón de semejanza 2, resultará un prisma recto verde con dimensiones 2ax2bx2c, es decir, un prisma con 2a cm de largo, 2b cm de ancho y 2c cm de alto.
A la vista de los cálculos realizados, se desprende que necesitamos 8 prismas rectos de color naranja para rellenar exactamente el prisma recto de color verde. ¡Claro, hemos multiplicado por 2 tres veces: el largo, el ancho y el alto! Además, este resultado es independiente de las dimensiones del prisma de color naranja, ya que no hemos usado números concretos. Aquí radica la importancia de la generalización y del rigor que debemos aplicar para recibir la acreditación de matemático o matemática.
Con la misma notación anterior y siguiendo los cálculos que acabamos de realizar, cada equipo de trabajo deberá realizar la generalización para el caso de ampliar a escala 3 el prisma de color naranja de dimensiones axbxc. ¿Cuántos prismas rectos de color naranja necesitamos para rellenar exactamente el prisma recto de color azul?
En caso de necesidad, podemos consultar el botón Ayuda.
Segunda generalización
Todavía el rigor matemático nos obliga a dudar: ¿será cierto este resultado únicamente con las escalas 2 y 3? Con el mismo razonamiento anterior, y dado que existen infinitos números, resultando imposible la comprobación con todas las escalas, supondremos que ampliamos a escala n el prisma recto naranja de dimensiones axbxc, es decir, con a cm de largo, b cm de ancho y c cm de alto.
De esta forma, abarcamos todas las combinaciones posibles para el largo, el ancho, el alto y la escala.
Si nos atrevemos, ¡adelante! En caso contrario, ofrecemos los cálculos para que podamos reflexionar con nuestro equipo en el botón "Ayuda" y, como último recurso, acudiremos a nuestro profesor o profesora.
Teorema de los volúmenes en cuerpos semejantes
Un enunciado válido para este teorema, que no es más que la conclusión final de esta parte de nuestra investigación, podría ser tal como:
Hemos realizado progresos y descubrimientos importantes que nos permitirán seguir avanzando y documentando nuestro proyecto de investigación, especialmente el primer capítulo en el que estamos inmersos.
A continuación, y para facilitar la tarea, ofrecemos las instrucciones, plantillas y recursos para ir completando la memoria de nuestro trabajo de investigación.
¿Preparados?
Pasos y recursos para continuar dotando de contenido la memoria de nuestro trabajo de investigación
¿Qué ocurre en tres dimensiones?
Cada equipo de trabajo deberá cumplimentar el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-5 : ¿Cómo aumenta el volumen del prisma recto ampliado? (descarga en formato editable / descarga en pdf), sustituyendo, en primer lugar, los textos en rojo por el equivalente que se solicita, con objeto de incorporar, en la zona superior derecha, el nombre del equipo, así como el nombre del centro educativo, URL de su página web y enlace a la misma en la zona inferior del documento. Por supuesto, una vez actualizados estos datos, debemos escoger el color negro, al igual que en el resto del texto.
En la columna derecha debemos ofrecer las respuestas a las preguntas planteadas a la izquierda, escribiendo las fórmulas usadas, las operaciones realizadas, los argumentos y las conclusiones finales empleando el editor de texto matemático, siguiendo, en todo momento, la notación habitual en la página del proyecto y estando muy atentos a las explicaciones, comentarios y cuestiones.
¿Cómo crece el volumen de un cuerpo ampliado a cierta escala?
De forma completamente análoga, cada equipo de trabajo deberá descargar y cumplimentar el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-6 : Volúmenes de cuerpos semejantes (descarga en formato editable / descarga en pdf), respondiendo a todas las preguntas planteadas, escribiendo las fórmulas usadas, las operaciones realizadas, los argumentos y las conclusiones finales empleando el editor de texto matemático.
Teorema de los volúmenes en cuerpos semejantes
Para finalizar esta actualización de la memoria de nuestro trabajo de investigación, cada equipo de trabajo deberá descargar y cumplimentar el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-7 : Teorema de los volúmenes en cuerpos semejantes (descarga en formato editable / descarga en pdf), respondiendo a todas las preguntas planteadas, escribiendo las fórmulas usadas, las operaciones realizadas, los argumentos y las conclusiones finales empleando el editor de texto matemático.
Tabla de longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes
Como ya hemos aprendido, los matemáticos o matemáticas, y científicos en general, debemos realizar muchos experimentos con valores concretos para conseguir indicios que nos orienten a conjeturar la posible solución de una investigación. Pues bien, la herramienta que se utiliza para recoger y organizar todos esos datos constituye una tabla, y el proceso empleado se conoce como tabular.
CeDeC. Área de la base y volumen de un ortoedro(CC0)
Con objeto de consolidar todo lo investigado, conviene aprender a construir una tabla de longitudes, áreas y volúmenes del prisma recto u ortoedro que nos sirve como modelo matemático para simular un cuerpo humano. En este momento, observando la imagen superior, que nos recuerda cómo calcular el área de la base del prisma y su volumen, así como todo lo aprendido, cada equipo de trabajo está capacitado para interpretar la tabla y completar los datos que faltan.
1. tr. Expresar valores, magnitudes u otros datos por medio de tablas.
Ley cuadrado-cúbica de Galileo
Aunque no lo parezca, la expresión "Sobre hombros de gigantes" nada tiene que ver con el problema que intentamos resolver en el primer capítulo de nuestro trabajo de investigación, ya que se trata de una frase, dudosamente atribuída a Isaac Newton, uno de los más grandes matemáticos y científicos de la historia de la humanidad. "Si he visto más lejos que otros es porque estoy subido a hombros de gigantes" quiere decir que si he conseguido hacer un descubrimiento es porque he leído, consultado y apoyado en los grandes matemáticos y científicos que me precedieron. Pues bien, uno de esos grandes fue Galileo Galilei, en quien nos apoyaremos y subiremos a sus hombros para dar respuesta contrastada a nuestra investigación. Así es como suele construirse la ciencia y avanzar, gracias a las aportaciones que realiza cada generación de matemáticos o científicos.
En 1638, Galileo Galilei descubre y enuncia la ley o teorema cuadrado-cúbica, conocida como el problema de escala, donde se plantea el tamaño máximo que puede alcanzar un árbol o la altura máxima a la que podemos encontrar la cima de una montaña en nuestro planeta, entre otras cuestiones similares.
Actividades a realizar
En base a los descubrimientos que hemos realizado y subiéndonos a hombros de gigantes, como practican los grandes matemáticos, cada equipo de trabajo desarrollará un pequeño debate hasta conseguir responder a la pregunta ¿Pueden existir personas gigantes?, siguiendo la secuenciación que ofrecemos y los recursos enlazados como fuentes fiables de información.
Conociendo a Galileo
Con objeto de impresionar a los miembros del tribunal que valorarán nuestro trabajo de investigación para decidir si nos otorgan la acreditación de matemático o matemática de prestigio, debemos dejar constancia escrita en nuestra memoria del trabajo de investigación que nos hemos subido a hombros de un gigante. Por ello, nos documentaremos sobre la vida y obra de Galilelo Galilei, conocido como padre de la ciencia moderna, y redactaremos unos párrafos al efecto, según las instrucciones que encontraremos en la correspondiente plantilla.
La ley cuadrado-cúbica en la escultura
Como paso previo a nuestra conclusión final, estudiaremos, por su analogía, cómo influye la ley cuadrado-cúbica de Galileo en el colapso sufrido por las esculturas construidas con materiales de alta densidad, como sucede con el mármol. Concretamente, averiguaremos cuál es el punto que ofrece mayor debilidad en una estatua y qué estrategias han ido encontrando los escultores para evitar el colapso de su obra.
Autoría propia. Mercurio, mensajero de los dioses(Dominio público)
Para ello, consultaremos las fuentes de información recomendadas y redactaremos un pequeño informe en la plantilla que corresponde a esta tarea.
Ha llegado el momento
Durante el desarrollo del primer capítulo de nuestro trabajo de investigación, cada equipo ha ido realizando una serie de descubrimientos matemáticos que les permitirá, una vez recopilados y organizados, dar respuesta al problema planteado. Ha llegado el momento de regresar a la secuencia establecida desde nuestro modelo matemático.
Autoría propia. Modelo matemático. CC BY-SA
En primer lugar, nos planteamos la situación real a investigar, es decir, si es posible aumentar el cuerpo humano a escala, conociendo que el hombre más alto de la historia tenía problemas para caminar.
En segundo lugar, ante la complejidad de realizar esta investigación matemática sobre el cuerpo humano, intentamos transformar la situación real en lenguaje matemático, adoptando el prisma recto como el cuerpo geométrico que más se aproxima y mejor puede contener el cuerpo humano.
En tercer lugar, llega el análisis del modelo, es decir, hacemos uso de las herramientas matemáticas y descubrimos la ley cuadrado-cúbica subiéndonos a hombros de gigantes, comprobando, con la tabla de longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes, el enorme peso que debe sostener tan poca superficie de la base cuando ampliamos un prisma recto a escala. Y, finalmente, conocemos el efecto producido por esta ley en las esculturas creadas con materiales de alta densidad, como el mármol, el punto débil de las mismas y las estrategias utilizadas por los escultores griegos y romanos para evitar su colapso.
Pues bien, ha llegado el momento de interpretar el análisis matemático para aplicar las conclusiones sobre la existencia de un prisma recto gigante a la situación real, lo que haremos cumplimentando, con las conclusiones obtenidas por nuestro equipo, la plantilla que proporcionamos y consultando las fuentes de información en el botón del mismo nombre.
1. m. Destrucción, ruina de una institución, sistema, estructura, etc.
Terminamos el primer capítulo de nuestro trabajo de investigación
Hemos llegado al final del primer capítulo de nuestro trabajo de investigación, así que incluiremos las últimas páginas para dejar constancia y difundir nuestros descubrimientos, es decir, todo lo relativo a la tabla de longitudes, áreas y volúmenes, que nos ha permitido descubrir la cantidad de volumen que soporta el poco pie del prisma. También hemos de tener en cuenta, como buenos matemáticos, que nos hemos subido a hombros de gigante, por lo que en nuestra memoria mencionaremos a Galileo Galilei y, por último, el colapso sufrido por las esculturas de mármol y la causa del mismo.
Como en el caso de otras secciones que ya hemos afrontado, ofrecemos a continuación las instrucciones, plantillas y recursos para, ¡por fin!, terminar el primer capítulo de nuestro trabajo de investigación.
¿Preparados?
Pasos y recursos para ir terminando el primer capítulo
Tabla de longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes
Cada equipo de trabajo deberá cumplimentar el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-8 : Tabla de longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes (descarga en formato editable / descarga en pdf) , personalizando en la zona superior izquierda el nombre del equipo, así como el nombre del centro educativo, URL de su página web y enlace a la misma en la zona inferior del documento.
En la columna derecha debemos ofrecer las respuestas a las preguntas planteadas a la izquierda, escribiendo las fórmulas usadas, las operaciones realizadas, los argumentos y las conclusiones finales empleando el editor de texto matemático, siguiendo, en todo momento, la notación habitual en la página del proyecto y estando muy atentos a las explicaciones, comentarios y cuestiones.
Conociendo a Galileo
De forma completamente análoga, cada equipo de trabajo deberá cumplimentar el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-9 : Conociendo a Galileo (descarga en formato editable / descarga en pdf), siempre empleando el editor de texto para presentar una memoria de nuestro trabajo de investigación con la calidad requerida.
Como resultado del proceso de investigación que hemos trazado y desarrollado hasta el momento, cada equipo de trabajo deberá acordar los argumentos para defender su conclusión final, que se recogerán en el documento de planificación que hemos denominado Plantilla Sección-11 : Ha llegado el momento (descarga en formato editable / descarga en pdf). En primer lugar, se explicarán en base a la ley cuadrado-cúbica las causas del colapso de un prisma recto de un material de alta densidad, como el mármol. En segundo lugar, trasladaremos las conclusiones sobre nuestro modelo matemático al problema de la situación real consultando, además, las fuentes de información recomendadas. ¿Qué punto del cuerpo humano presenta mayor debilidad para que existan gigantes?
Diario de aprendizaje
Después de finalizado este bloque de tareas o actividades, es el momento de revisar el trabajo que hemos hecho y anotar nuestras impresiones en el diario de aprendizaje.
Haremos una nueva entrada en nuestro diario de aprendizaje con el título de este apartado: "Sobre hombros de gigantes". Antes de redactar la entrada es conveniente que hagamos una reflexión previa según recomendamos en el botón denominado "Redactamos la entrada"
