A lo largo de nuestra investigación hemos seguido, sin darnos cuenta, los pasos del método científico: hemos observado, nos hemos formulado preguntas, también realizamos varios experimentos, hemos sacado conclusiones y tenemos un resultado final.

Ahora bien, nos adentramos en el denominado rigor matemático, es decir, aquello de que "Un teorema es para siempre ", como visualizamos y trabajamos en el primer vídeo, pero los teoremas deben ir acompañados de una demostración.

Actividades a realizar

Casos concretos

Hemos realizado dos experimentos con valores numéricos concretos, además de obtener unas conclusiones, siempre partiendo de un rectángulo de base 5 cm y altura 3 cm. El rigor matemático nos lleva a preguntarnos si estas conclusiones se dan únicamente con estos números concretos o, por el contrario, son válidos para cualquier par de números que representen la base y la altura de un rectángulo. Si pensamos en probarlo con otro par de números, estaremos ante el mismo dilema: ¿quién garantiza que no es válido el resultado únicamente con esas dos parejas de valores?

Primera generalización

Para asegurarnos de que las conclusiones obtenidas no dependen de los números 5 y 3, y dado que existen infinitos números, resultando imposible la comprobación con todos, suponemos que partimos de un rectángulo cuya base mida b cm y su altura a cm.

Aquí, con b representamos cualquier valor de la base y con a cualquier valor de la altura, siendo estas las dimensiones de nuestro rectángulo naranja que, si lo ampliamos con escala o razón de semejanza 2, resultará un rectángulo verde con base 2b y altura 2a. Con la misma notación anterior, el área de cada rectángulo valdrá:

A_{N}= b\cdot a\\ A_{V}= 2b\cdot 2a=4\cdot b\cdot a=4\cdot A_{N}

Así que el área del rectángulo verde no aumenta con escala 2, sino con escala 4. ¡Claro, hemos multiplicado por 2 dos veces: la base y la altura!

Como tarea, y con el asesoramiento y orientación de nuestro profesor o profesora, realizaremos el mismo estudio pero con escala o razón de semejanza 3.

Segunda generalización

Todavía el rigor matemático nos obliga a dudar: ¿será cierto este resultado únicamente con las escalas 2 y 3? Con el mismo razonamiento anterior, y dado que existen infinitos números, resultando imposible la comprobación con todas las escalas, supondremos que ampliamos el rectángulo de base b cm y altura a cm a escala n.

De esta forma, abarcamos todas las combinaciones posibles para la base, la altura y la escala.

Si nos atrevemos, ¡adelante! En caso contrario, ofrecemos los cálculos para que podamos reflexionar con nuestro equipo en el botón "Ayuda" y, como último recurso, acudiremos a nuestro profesor o profesora.

Teorema de las áreas en figuras semejantes

Un enunciado válido para este teorema, que no es más que la conclusión final de esta parte de nuestra investigación, podría ser tal como:

La tarea que proponemos consiste en enunciar este teorema con una redacción distinta.